O capră aduce acasă niște verze și pleacă la vânătoare. Iedul cel mic se trezește primul și mănâncă o șesime dintre verze. Următorul se trezește și mănâncă o cincime dintre verzele pe care le găsește în casă. Mijlociul se trezește și el și mănâncă un sfert dintre verzele care mai erau. Următorul se trezește și mănâncă o treime dintre verzele pe care le vede. În sfârșit, când se trezește, iedul cel mare mănâncă și el jumătate dintre verzele pe care le găsește. Când se întoarce de la vânătoare, capra găsește trei verze. Câte verze a adus acasă?
Gogu spune adevărul doar lunea, joia și sâmbăta. În toate celelalte zile minte. Într-o zi spune: "Mâine o să spun adevărul!" Ce zi e?
În sfârșit, pentru cei care vor o nucă mai tare am pregătit pentru astăzi, fiindcă tot se apropie vacanța, o problemă specială. Se spune că a fost dată la o olimpiadă de matematică în URSS. Motivul pentru care o propun aici este următorul: dincolo de rezolvarea matematică, există o rezolvare logică, în care nu avem nevoie de niciun calcul geometric. Problema sună așa: Avem 50 de ceasuri de mărimi diferite așezate pe o masă la întâmplare. (Asta înseamnă că unele pot fi cu ora 12 spre centrul mesei, altele cu ora 12 spre sud, altele cu ora 12 spre nord-vest ș.a.m.d.) Toate ceasurile funcționează și au fost potrivite la ora exactă. Ni se cere să demonstrăm că în decursul unei ore există un moment în care suma distanțelor dintre centrul mesei și centrul fiecărui ceas este mai mică decât suma distanțelor dintre centrul mesei și vârful minutarului fiecărui ceas.
Mențiuni
Din nou am avut o rundă fără câștigători de cărți, dar și o surpriză: cam jumătate dintre rezolvări au fost greșite. Bunăoară, mulți au considerat că "azi" din problema cu matematicienii de data trecută însemna "11 iunie", chiar și după ce au apărut rezolvările. Sunt curios ce ar fi răspuns dacă problema ar fi fost propusă cu o săptămână înainte.
Le mulțumesc celor care au trimis răspunsuri și notări. Îmi cer scuze că nu le-am răspuns tuturor, dar au fost chiar foarte multe mesaje. Îi mulțumesc lui Mihai Negrea pentru verificarea problemelor.
NB: I-aș ruga pe cei care îmi trimit rezolvări prin e-mail să spună și cât de grea li se pare problema la care răspund (pe o scară de la 1 la 5). Mulțumesc. Comentariile, întrebările, propunerile, sugestiile și reclamațiile sunt așteptate la viorel.zaicu@hotnews.ro. Editura Paralela 45 sponsorizează gânditorii cu două titluri în fiecare săptămână: Boris Kordemski, 359 de probleme de matematică recreativă, și Martin Gardner, Cele mai îndrăgite jocuri matematice și logice. Premiile sunt oferite cititorilor care fie oferă o soluție originală (sau o explicație simplă și inedită) la problemele date, fie propun o problemă pe care n-am mai întâlnit-o (cel puțin nu în varianta respectivă). Nu vă străduiți să fiți originali cu orice preț - dacă sunt mai mulți câștigători o să fie și mai multe cărți!
Rezolvări
Capra
Problema e, totuși, o glumă. Calculul aritmetic e banal: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 (A doua cifră este jumătate din suma primelor trei, a treia e o treime din suma primelor trei... iar a șasea e o șesime din suma totală.)
Gogu
Marți. Dacă ar fi una dintre zilele în care spune adevărul, în ziua următoare ar trebui să mintă (pentru că ar fi marți, vineri sau duminică, și ar minți), așa că este o zi în care minte. Dar minte că spune adevărul, deci o să mintă și a doua zi. Singurele zile consecutive în care minte sunt marți și miercuri, așa că ziua în care Gogu spune „Mâine o să spun adevărul!” nu poate fi decât marți.
Ceasurile
Rezolvarea matematică e ingenioasă și destul de complicată. Presupune construirea unui trapez dreptunghic variabil cu o bază dată de distanța dintre centrul mesei și centrul unui ceas și diagonala dată de distanța dintre centrul mesei și vârful minutarului unui ceas. (Ca în figura de mai jos.) Calculul raportului mediu dintre aceste două distanțe măsurate pe parcursul unei ore ne arată că diagonala medie este mai lungă decât baza medie luată în considerare. Rezultă astfel ceea ce ni se cere să arătăm.
FIGURA Ceas 1
Totuși, problema are și o soluție cu mai puține calcule. Dacă trasăm un cerc din centrul mesei până în centrul unui ceas oarecare, acesta va intersecta cercul trasat de vârful minutarului în două puncte, secționând astfel lungimea cercului în două. (Ca în figura de mai jos.)
FIGURA Ceas 3
În punctele de intersecție A și B cele două distanțe pe care ni se cere să le comparăm sunt egale. De-a lungul unei ore distanța dintre vârful minutarului și centrul mesei (C) este mai mare decât cea dintre centrul mesei și centrul ceasului (c) pe un interval mai lung decât cel în care este mai mică, și anume cu atât mai lung cu cât lungimea minutarului este mai mare. De aici rezultă că, oricare ar fi orientarea ceasurilor, există cel puțin un moment de-a lungul unei ore în care suma distanțelor dintre centrul mesei și centrul fiecărui ceas (S1) este mai mică decât suma distanțelor dintre centrul mesei și vârful fiecărui minutar (S2). Puteți încerca să vedeți ce se întâmplă cu patru ceasuri care, dată fiind orientarea diferită, au la un anumit moment vârful minutarului în A, E, B și D, se află la aceeași distanță de centrul mesei și minutare de aceeași lungime. O să spuneți că sumele sunt egale. Ei bine, după un sfert de oră, douăzeci de minute sau douăzeci și cinci de minute diferența dintre cele două sume o să ne permită să spunem că s-a ajuns la o situație în care S1 este mai mică decât S2.
Putem să privim lucrurile și altfel, tot pe schema de mai sus: într-o oră, pentru un singur ceas media distanțelor dintre centrul mesei și vârful minutarului este mai mare decât distanța dintre centrul mesei și centrul ceasului (distanță pe care o putem considera medie). Asta nu înseamnă altceva decât că, dacă am lua în calcul 60 de ceasuri cu aceeași orientare care arată fiecare un minut al orei, S1 ar fi mai mică decât S2. (Mai mult, ar rămâne așa pe întregul parcurs al orei!) Excluzând cele mai mari 10 distanțe dintre centrul mesei și vârful minutarului, peste o jumătate de oră ar fi excluse cele mai mici 10 distanțe, deci am ajunge din nou la o situație în care S1 ar fi mai mică decât S2.
Nota redactiei:Comentariile la acest articol votr fi aprobate dupa publicarea rezolvarilor, duminica dimineata.
Cititi si provocarile de logica din saptamanile trecute:
Varstele copiilor si spargatorii
Caracatitele si propozitiile adevarate
Sfertul de cerc si melcii strategi
Cartofii-minune si pastilele salvatoare
Guguta, ciorba si puntea afurisita
0
0
