20 de colegi și 2,4 cvintilioane de posibilități: Statisticile uimitoare ale unui obicei de Crăciun care ne dă bătăi de cap

Ni se spune că Crăciunul este cea mai frumoasă perioadă a anului. Însă pentru tot mai mulți dintre noi el este precedat de „Secret Santa”, obiceiul prin care angajații sunt de acord să cumpere un cadou pentru un coleg ales la întâmplare, iar asta nu e tot timpul neapărat minunat, scrie revista The Conversation.

Publicația ne sugerează ca, în timp ce ne privim colegii desfăcându-și cadourile – de multe ori nepotrivite și alese uneori de un coleg pe care abia îl cunosc – să ne gândim la improbabilitatea statistică pură a ceea ce vedem.

Șansele ca o astfel de combinație de cadouri – de la rame de fotografii, lumânări parfumate sau seturi de cosmetică – să fie distribuite la birou sunt, într-un fel, cu adevărat un miracol de Crăciun.

Pentru a calcula câte perechi posibile de cumpărători și destinatari de cadouri există, trebuie să aflăm numărul de permutări pentru persoanele implicate.

Permutări la birou cu Secret Santa

Să luăm în considerare întâi un birou mic, cu doar 4 angajați. Dacă nu există o regulă care să împiedice oamenii să-și extragă propriul nume, există 4 persoane care pot fi alese pentru a cumpăra cadoul primului coleg.

După ce prima persoană este stabilită, rămân 3 opțiuni pentru a doua persoană, apoi două opțiuni pentru a treia persoană și, în cele din urmă, rămâne un singur nume pentru ultimul Moș Crăciun al biroului.

Asta înseamnă că există 4 × 3 × 2 × 1 = 24 permutări posibile. Matematicienii scriu aceasta ca 4!, care se citește „patru factorial”, după cum își vor aminti probabil cu groază cei cărora nu le-a prea plăcut matematica în liceu.

O oroare și mai mare e că factoriale scapă rapid de sub control când crește numărul de persoane implicate. Ne putem gândi chiar la bietul Moș Crăciun. Cu 9 reni, există 9! = 362.880 modalități în care aceștia ar putea fi aranjați să tragă sania în Ajunul Crăciunului.

Revenind la birou, odată ce numărul colegilor urcă până la 20, există peste de 2,4 cvintilioane de permutări posibile. Pentru a pune această cifră amețitoare în context, 20! este de peste 3 ori mai mare decât numărul de boabe de nisip de pe Pământ.

Vom cumpăra totuși un cadou pentru altcineva

Desigur, dacă organizăm „Secret Santa”, e de dorit să nu ne extragem propriul nume. Ceea ce obiceiul ce a ajuns prezent în mai toate companiile de la noi își dorește cu adevărat nu este o permutare a tuturor angajaților, ci ceea ce matematicienii numesc un deranjament. Acesta este o permutare în care niciun element nu rămâne în poziția inițială. În limbaj simplu, asta înseamnă că niciun angajat nu trebuie să-și cumpere propriul cadou.

Dar calculul este departe de a fi simplu. Numărul modurilor în care n angajați pot fi repartizați altor colegi unici se numește numărul n de Montmort.

Uimitor este că acest număr este egal cu n!/e, rotunjit la cel mai apropiat număr întreg. E este unul dintre cele mai faimoase numere din matematică, numărul lui Euler, aproximativ egal cu 2,71828 și spaima oricui a avut tabele cu logaritmi în școală.

Din cele 24 de permutări posibile pentru exemplul cu 4 colegi, există 9 deranjamente, ceea ce este egal cu 24/e, rotunjit la cel mai apropiat număr întreg. Pentru numere mari, aproximativ 63,2% dintre permutările posibile nu sunt deranjamente și, prin urmare, sunt excluse.

În cazul biroului cu 20 de angajați, acest număr reduce cele peste 2,4 cvintilioane de permutări la „doar” aproximativ 895 cvadrilioane. Aceasta este totuși de peste 100 de milioane de ori mai mare decât populația actuală a lumii.

Care e probabilitatea să fim propriul Moș Crăciun?

Dacă lăsăm la o parte deranjamentele, o caracteristică surprinzătoare a „Secret Santa” rezultă din numărul de persoane care, în medie, își vor trage propriul nume într-o extragere aleatorie. Nu contează dacă ai o singură persoană (deși acela este un „Secret Santa” deloc secret și extrem de trist) sau un miliard de oameni, numărul mediu de persoane cărora li se va aloca să își cumpere propriul cadou rămâne același: o singură persoană.

O demonstrație completă este ceva mai complicată, dar gândește-te ce se întâmplă dacă dublezi numărul angajaților. Cu de două ori mai multe cadouri de cumpărat, șansele fiecăruia de a-și alege propriul nume se înjumătățesc. De două ori mai multe persoane, fiecare cu șanse înjumătățite de a-și extrage numele, oferă același rezultat în medie.

De exemplu, în cazul cu 4 colegi și 24 de permutări posibile, una implică 4 extrageri ale propriului nume (adică fiecare coleg își extrage numele său), niciuna nu include 3 autoextrageri, 6 includ două autoextrageri și 8 includ o singură autoextragere. În total, avem 24 de autoextrageri în cele 24 de permutări posibile, adică o medie de una pentru fiecare.

Poate că ar fi mai bine totuși să lăsăm matematica la o parte și să ne aplecăm asupra îndemnului din cântecul celebru al lui Mariah Carey.