Cui ii e frica de matematică? Considerații despre matematică în educația universitară și în societate

În literatura de specialitate și politicile publice asupra educației se folosește acronimul STEM (de la Science, Technology, Engineering, Mathematics) pentru a desemna un grup de domenii ale educației universitare care sunt legate în mod esențial de inovație, abordare problemistică, și gândire critică. Acest acronim are o anumită conotație provocatoare deoarece cuvântul stem își are originea în sintagma celulele stem care sunt acele celule, și singurele cu această proprietate, din organismele vii din care toate celelalte celule cu funcții specifice se dezvoltă. În limba română putem utiliza acronimul ȘTIM (de la Știință, Tehnologie, Inginerie, și Matematică) cu o conotație specifică diferită dar cu o cuprindere mult mai largă. Ambele acronime mi se par potrivite și oarecum complementare. De ce domeniile din ȘTIM sunt diferențiate față de celelalte domenii și puse în valoare? Unul dintre motive este dat de cererea socială. Absolvenții cu specializare într-unul dintre domeniile ȘTIM își găsesc mult mai repede locuri de muncă decât cei din afara ȘTIM și la nivelul fiecărui stat modern există o cerere mai mare, și de cele mai multe ori este un deficit, de astfel de specialiști. Una dintre profesiile cele mai căutate și bine recompensate financiar este aceea de actuar, o specializare care de obicei se face în departamentele de matematică și care se referă la un complex de tehnici care privesc mecanismele de risc și asigurări, cu locuri de muncă în instituții financiare, în bănci, și în industria jocurilor de noroc. Un al doilea criteriu de diferențiere între domeniile din ȘTIM și cele din afara lui este dat de faptul că un student al unei facultăți/departament ȘTIM are nevoie de mult mai mult timp pentru a se pregăti pentru ore, examene sau alte activități de verificare și deci aceste domenii sunt mult mai solicitante. Funcționează aici în mod natural un mecanism de recompensă direct proporțională cu efortul depus pe timpul studiilor. La nivel global, se apreciază că domeniile ȘTIM sunt cele mai importante în economia unei țări deoarece sunt cele care asigură inovația și progresul tehnologic.

O primă întrebare care apare în mod natural este de a spune mai precis care sunt domeniile care fac parte din ȘTIM, motiv pentru care avem nevoie de niște criterii de clasificare. Situația nu este prea grozavă, din păcate sau din fericire, fiindcă sunt folosite mai multe criterii și deci rezultatele sunt diferite. Dacă pornim direct de la componentele acronimului atunci avem: științele naturii (fizică, chimie, biologie), tehnologie (cu sensul de ansamblul metodelor, proceselor și operațiilor necesare pentru obținerea unui produs), toate tipurile de inginerie (cu sensul de proiectare bazată pe matematică și științe), și matematică sau orice alt domeniu în care principiile matematice sunt aplicate în mod esențial (motiv pentru care includem aici și informatica). Sunt numeroase discuții dacă științele sociale sau științele vieții, sau măcar o parte dintre acestea, fac parte din ȘTIM sau nu. În funcție de diversele definiții care sunt acceptate avem răspunsuri pozitive sau negative. De exemplu, face parte economia din ȘTIM? După unii autori da, fiindcă economia modernă, chiar dacă este o știință socială, este puternic matematizată. Aceleași întrebări despre psihologie, psihologia socială, sau sociologie. Este medicina un domeniu ȘTIM? Iarăși, după unii autori da, fiindcă în ceea ce privește cercetarea medicală aceasta se bazează pe științele naturii și, în plus, utilizează instrumente statistice în mod esențial pentru a valida rezultatele cercetării. În nomenclatorul domeniilor din ȘTIM uneori apare și arhitectura, mai ales prin prisma faptului că, pe de o parte, majoritatea proiectelor de arhitectură moderne se face cu ajutorul unor aplicații specifice pe calculator și, pe de altă parte, există o legătură din ce în ce mai mare între arhitectură și diversele specializări din ingineria construcțiilor civile.

Abordările acestea nu sunt însă constructive, din punctul meu de vedere, fiindcă criteriile sunt mult prea vagi și discutabile. De aceea, eu propun un punct de vedere pornind de la matematică. Vom porni deci la drum cu următoarea întrebare: ce anume diferențiază matematica în raport cu celelalte domenii ale cunoașterii? Din păcate, sau din fericire, nu există o definiție a matematicii care să fie acceptată de toată lumea și atunci nu ne rămâne decât să încercăm să găsim câteva caracteristici care să o diferențieze. O abordare comună dar oarecum naivă este aceea de a caracteriza matematica prin aria de cunoaștere care se referă la numere, formule, structuri, forme, spațiile în care acestea sunt conținute și transformări ale acestora. Această încercare suferă din mai multe puncte de vedere. În primul rând trebuie spus că matematica, contrar unor prejudecăți larg răspândite, nu este în lumea reală, în acest univers în care trăim, ci este o construcție abstractă iar singura interfață cunoscută, până la proba contrarie a existenței unor ființe inteligente altele decât omul, dintre matematică și lumea reală este mintea umană. Din acest punct de vedere, unii ar spune că matematica este un sistem formal, alții mai răutăcioși spun că nu este nimic altceva decât un limbaj, sau chiar o construcție logică fără substanță. Sunt câteva pseudo-definiții amuzante ale matematicii, pe care uneori le discut la clasă cu studenții, dar care sunt pline de miez. O posibilă definiție a matematicii este așa: matematica este acea îndeletnicire umană în care habar n-ai ce spui despre obiecte care habar n-ai ce sunt. O altă definiție amuzantă a matematicii este așa: matematica este acea îndeletnicire umană în care vrem să aflăm tiparele realității.

Întrucât nu există un acord asupra unei definiții formale a matematicii, abordarea alternativă care are foarte mulți susținători este de a face o enumerare. În secolul trecut, matematicienii au creat două mari baze de date care să înregistreze și să recenzeze literatura matematică relevantă. Prima dintre acestea, în ordine istorică, este Zentralblatt für Mathematik und ihre Grenzgebiete (Revistă de referate pentru matematică și domeniile corelate cu aceasta), în prezent proprietate a unui consorțiu format din European Mathematical Society (Societatea Europeană de Matematică), Fachinformtionszentrum Karlsruhe (Centrul de informare academică din Karlsruhe), Heidelberger Akademie der Wissenschaften (Academia de Științe din Heidelberg)și Springer-Verlag (Editura Springer), disponibilă în format electronic sub numele de zbMATH[ZM] și accesibilă tuturor. A doua este Mathematical Reviews (Recenzii Matematice), proprietate a American Mathematical Society (Societății Americane de Matematică), în prezent disponbilă în format electronic sub numele de MathSciNet [MS] și accesibilă prin abonament. Cele două organizații au creat și întrețin Clasificarea pe Subiecte a Matematicii (Mathematical Subject Classification)[MSC],ultima versiune fiind din 2020. Astfel, prin matematică înțelegem, la momentul actual, mulțimea subiectelor care se regăsesc în această clasificare.

Prespunând deci că avem o vagă înțelegere a ceea ce este matematica, următorul pas este să diferențiem cele două caracteristici fundamentale ale matematicii: aspectul cantitativ și aspectul calitativ. Una dintre prejudecățile larg răspândite despre matematică este aceea că matematica este pur cantitativă, manipulând numere cu care poți face diverse calcule. Celălalt aspect al matematicii, cel calitativ, este de cele mai multe ori necunoscut. Este adevărat că aspectul cantitativ al matematicii este cel mai vizibil însă acesta nu este și preponderent. Din perspectiva matematicii elementare pare că rezolvarea ecuațiilor este îndeletnicirea de căpătâi în matematică dar asta este departe de a fi adevărat: foarte multe dintre ecuații nu prea pot fi rezolvate explicit și atunci afirmații care privesc existența și unicitatea soluțiilor, comportarea acestor soluții, sau metodele de aproximare ale soluțiilor sunt de o importanță chiar mai mare. Chiar și geometria, care are un caracter calitativ și mai pronunțat, este în mod eronat de multe ori redusă la calcule de lungimi, arii, și volume.

Caracterul calitativ al matematicii este pus în valoare cel mai bine de faptul că afirmațiile matematice sunt validate numai prin demonstrații care, de cele mai multe ori, sunt o înșiruire de raționamente bazate pe fapte demonstrate anterior sau acceptate ca adevărate prin sisteme axiomatice. Calculele, aspectul cantitativ, alcătuiesc un strat subiacent al demonstrațiilor dar raționamentele sunt miezul acestor demonstrații. În matematica elementară, prima întâlnire cu raționamentul matematic se produce când se studiază geometria sintetică, plană sau în spațiu, în care aspectul calitativ este cel mai important. Apoi, în matematica de liceu, atunci când domenii ale matematicii superioare, cum ar fi algebra abstractă și analiza matematică, sunt studiate, raționamentele abstracte și aspectele calitative apar din ce în ce mai mult și dau bătaie de cap elevilor și, uneori, chiar profesorilor.

Revenind la domeniile ȘTIM, i se atribuie lui Galileo Galilei afirmația cum că legile naturii sunt scrise în limbajul matematicii. În ceea ce privește relația științelor cu matematica, i se atribuie matematicianului Grigore C. Moisil [M] una dintre cele mai arogante caracterizări ale științelor: Pe măsură ce se maturizează, o știință se matematizează. Această afirmație nu este însă o noutate printre matematicieni sau a celor care se ocupă cu filosofia științei, vezi, de exemplu, M. Thomson [T], care sunt conștienți de faptul că matematica devorează încet dar sigur marea majoritate a științelor. În plus, Moisil recidivează cu acapararea unui domeniu și mai mare: Tot ce e gândire corectă este sau matematică sau susceptibilă de matematizare. În cele ce urmează voi merge pe firul acestor afirmații care provoacă frisoane multora, uneori în mod neașteptat. În perspectiva istorică a matematizării științelor, fizica este știința naturii cu cel mai mare grad de matematizare. Este binecunoscut articolul lui E. Wiegner [W] care vorbește despre eficacitatea nerezonabilă a matematicii în științele naturii. În urmă cu mai mulți ani am citit pe această platformă articolul lui C. Presură[Pr] care a dat glas unor frământări și îngrijorări ale autorului asupra matematizării fizicii.

Sunt subdomenii ale fizicii, precum mecanica clasică, care sunt complet matematizate. În mecanica clasică sunt trei paradigme acceptate: Newton, Lagrange, și Hamilton. Mecanica în paradigma Newton mai este numită mecanică vectorială și este punctul de vedere al fizicienilor, pe când celelalte două țin de mecanica analitică și care este pură matematică. Oricum, mecanica clasică aproape că a părăsit fizica și s-a integrat în matematică și, din cauza asta, laboratoarele de mecanică aproape că au dispărut întrucât aproape toate experimentele din mecanică se fac în mod virtual, pe calculator. În urmă cu mai bine de treizeci de ani, Universitatea din București avea Facultatea de Matematică și Mecanică și, de exemplu, pe vremea aceea, studenții de la secția de matematică aveau cursuri de mecanică analitică, mecanica solidului, mecanica fluidelor, electromagnetism și mecanică cuantică. Exista și secția de informatică într-o fază mai mult incipientă ceea ce, mai târziu, odată cu dezvolatarea informaticii și a comenzii sociale pentru acest domeniu, a dus la schimbarea numelui în Facultatea de Matematică și Informatică, care este cel de azi. Fizica suferă în continuare un proces accelerat de matematizare. Fizicienii sunt clasificați în experimentaliști și teoreticieni dar mai există un domeniu numit fizica matematică în care se face fizică cu metode matematice, în particular, afirmațiile se probează prin demonstrații. Cunosc mai mulți colegi de la Institutul de Matematică care au absolvit facultatea de fizică dar care, având ca specializare fizica matematică, sunt matematicieni în adevăratul sens al cuvântului. În folclorul academic, matematicienii sunt numiți uneori de către fizicieni ca fiind metode ieftine de experiment. Asta fiindcă, în general, experimentele din fizica modernă sunt făcute cu echipamente de cercetare extrem de costisitoare pe când, unele dintre afirmațiile pe care fizicienii experimentaliști se străduie să le dovedească pot fi validate prin metode matematice și costul este cu mult mai mic. Mai mult, fizica cuantică este un domeniu atât de matematizat încât, în pondere covârșitoare, multe rezultate sunt obținute prin metode pur matematice. În cosmologie, principalele metode de investigare sunt cele care provin din geometria diferențială și din această cauza pot fi găsiți mai mulți fizicieni care se ocupă de cosmologie în departamentele de matematică decât în departamentele de fizică.

Pentru chimie și biologie gradul de matematizare este mai mic decât cel a fizicii, dar procesul este în continuă expansiune. În chimia cuantică, de exemplu, gradul de matematizare este extrem de mare. O colegă de la departamentul de chimie care are ca arie de cercetare chimia cuantică își desfășoară în mare parte activitatea prin aplicații foarte sofisticate pe calculator și deloc în laboratorul de chimie. Microbiologia, subdomeniul poate cel mai modern al biologiei, are un grad de matematizare foarte mare. În urmă cu câțiva ani, am invitat în departamentul de matematică un coleg de la departamentul de microbiologie și genetică care ne-a vorbit despre probleme curente de matematică care i-ar ajuta în cercetările lor și am fost foarte surprinși să constatăm că aceste probleme aveau un grad foarte mare de sofisticare. Există un domeniu interdisciplinar numit biologie matematică în care cercetările se fac în principal cu metode matematice foarte avansate.

Ingineria, cu multiplele subdomenii, are un grad foarte mare de matematizare. Cele mai multe și mai sofisticate cursuri de matematică le iau studenții de la departamentul de inginerie electrică și electronică. Toți studenții de la facultatea de inginerie iau în mod obligatoriu cursurile de calcul diferențial și integral, matematici discrete, algebră liniară și ecuații diferențiale dar cei de la departamentul de inginerie electrică și electronică au nevoie de mult mai multă matematică, de analiză Fourier, de calcul vectorial, de analiză matricială, și de foarte multe altele. Pentru studenții de la facultatea de inginerie, departamentul de matematică oferă programul secundar în matematică sau dublu principal: asta înseamnă că acești studenți iau atât de multe cursuri de matematică specială încât la absolvire primesc o diplomă cu dublă specializare în care a doua este matematica. Sunt domenii de cercetare în inginerie unde cerințele de cunoștințe din matematică sunt atât de mari încât este nevoie de echipe mixte de cercetare care cuprinde și matematicieni și ingineri. De exemplu, în cercetările din inteligența artificială și învățare automată (machine learning) situația este de așa natură încât specializările foarte înguste au nevoie de colaboratori matematicieni pentru a aborda problemele curente. Binînțeles că de foarte multe ori punctele de vedere sunt mai mult sau mai puțin diferite însă, în funcție de nivelul de acuratețe cerut, problemele de cercetare din aceste domenii pot fi mai mult aplicative sau mai mult teoretice iar cele teoretice sunt lucrări de matematică în adevăratul sens al cuvântului.

Un cuvânt aparte merită să fie scris despre probabilități și statistică. În urmă cu câteva sute de ani, fenomenul probabilistic a fost abordat de oamenii de știință din acele vremuri pe modele discrete. O teorie matematică a probabilităților a fost pusă pe fundamente solide de-abia după apariția rezultatelor din analiza matematică a măsurii și integralei obținute de matematicianul Henri Lebesgue la sfârșitul secolului al nouăsprezecilea și continuate de alți matematicieni din secolul al douăzecilea. Teoria abstractă a măsurii și a integrării a fost baza pe care N. Kolmogorov a fundamentat teoria modernă a probabilităților care, în esență, este un produs al analizei matematice. A venit apoi rândul construcției statisticii matematice fundamentată pe baza teoriei probabilităților. În timp, din statistica matematică a fost derivată statistica privită ca activitate de sine stătătoare. Relația dintre cele două este de determinare: statistica matematică livrează rezultatele matematice care stau la baza metodelor statistice iar statisticianul este un profesionist independent, cu un grad mai mare de libertate care vine la pachet și cu riscuri mai mari.

De ce este statistica atât de importantă în viața modernă? Răspunsul este într-un fel dezamăgitor: din cauză că foarte multe dintre fenomenele din lumea reală pe care vrem să le înțelegem încă nu sunt înțelese pe deplin ci doar într-o foarte mică măsură, în sensul că nu există modele matematice satisfăcătoare sau, chiar dacă există, matematica pentru aceste modele încă nu este înțeleasă, și atunci când nu înțelegem mai nimic din acel fenomen, dar avem nevoie disperată de a formula niște cunoștințe pe care să ne bazăm cât de cât în acțiunile noastre, statistica este ultimul remediu la care putem apela. Altfel spus, statistica este o unealtă pe care o folosim în momentele noastre de disperare, când științele și matematica nu ne sunt de niciun ajutor. Ironia soartei este că matematica este cea la care apelăm atunci când cunoștințele matematice existente nu o pot face la înălțimea așteptărilor noastre, dar dintr-o perspectivă diferită. În științele naturii, în științele sociale, în inginerie și tehnologie, în medicină, în economie și în foarte multe alte domenii ale vieții moderne, statistica a ajuns să joace rolul de arbitru care validează sau invalidează teorii și/sau ne furnizează afirmații pe care să ne bazăm în activitatea noastră. Mai precis, foarte multe dintre afirmațiile furnizate de aceste domenii primesc validări, mai mult sau mai puțin temporare, prin analize statistice și în lipsa acestora afirmațiile nu pot fi considerate științifice. Este drept că statistica este un cuțit cu două tăișuri: folosită conform normelor și limitărilor impuse de statistica matematică aceasta este un instrument puternic de validare pe când încălcarea acestor norme cu sau fără intenție poate avea consecințe foarte neplăcute în ceea ce privește credibilitatea. În folclorul academic circulă o butadă: minciunile sunt de trei feluri, mari, mici, și statistica. Însă, în fața neputinței noastre de a înțelege realitatea, statistica, dacă este mânuită cu pricepere și cu bună-credință, poate fi ultima soluție la care putem apela.

Karl Popper [Po] a fost un austriac naturalizat britanic, care a studiat matematica și fizica, cu o teză de doctorat în psihologie, și care s-a distins ca filosof al științei prin teoria raționalismului critic. De la Popper avem criteriul care deosebește afirmațiile științifice de cele neștiințifice prin testul falsificabilității. Din acest punct de vedere, afirmațiile științifice sunt falsificabile, adică există o configurație în care acestea devin false și prin urmare perpetuu supuse schimbării. În plus, afirmațiile științifice trebuie să fie replicabile, adică experimentele care le justifică să poată fi refăcute (replicate) iar măsurătorile rezultate din aceste experimente să poată fi confirmate. Aici intervine în mod esențial statistica fiindcă aceasta este instrumentul care validează sau invalidează măsurătorile, și deci concluziile. Din acest punct de vedere, și întorcându-ne la definiția matematicii, este o mare eroare ca matematica să fie definită ca știință fiindcă nu îndeplinește criteriul falsificabilității. Matematica este singurul sistem de cunoștințe umane care este imuabil. Conform teoriei raționalismului critic a lui Popper, știința nu demonstrează nimic ci doar aduce dovezi în sprijinul afirmațiilor și teoriilor, numai matematica demonstrează afirmații, dar acestea sunt dincolo de realitatea universului în care trăim. –Citeste intregul artiol si comenteaza pe Contributors.ro